Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n+a_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，則是否存在數(shù)列{b_n}，滿足對一切正整數(shù)n都成立？若存在，請求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁+a₁=1，故．---------（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，兩式相減得到2a_n=a_n-1，所以數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以．------（7分）
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/144978.png' />，所以，若存在滿足題意的數(shù)列{b_n}，
則，
兩式相減，得到b_n=2n+1（n≥2）．------（12分）
由b₁•c₁=6，得到b₁=3，滿足上式．所以，存在滿足題意的數(shù)列{b_n}，
通項(xiàng)公式為．-------（14分）
分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由條件S_n+a_n=1求出首項(xiàng)，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，兩式相減得到2a_n=a_n-1，可得數(shù)列是
公比為的等比數(shù)列．
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/144978.png' />，所以，若存在滿足題意的數(shù)列{b_n}，則，兩式相減，得到b_n=2n+1（n≥2）．
經(jīng)檢驗(yàn)，首項(xiàng)也滿足，從而求得通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．