Question

如圖,正方形ABCD和ABEF的邊長均為1,且它們所在的平面互相垂直,G為BC的中點.

(1)求點G到平面ADE的距離;

(2)(理)求直線AD與平面DEG所成的角;

(文)求二面角EGDA的正切值.

Answer 1

解：(1)∵BC∥AD,AD面ADE,∴點G到面ADE的距離即點B到面ADE的距離.

連結(jié)BF交AE于H,則BF⊥AE,又BF⊥AD,∴BH即為點B到面ADE的距離.

在Rt△ABE中,BH=.∴點G到面ADE的距離為.

(2)(理)設(shè)DE中點為O,連結(jié)OG、OH,則OHAD,BGAD.

∴四邊形BHOG為平行四邊形.

∴GO∥BH.由(1),BH⊥面ADE,∴GO⊥面ADE.

又OG面DEG,∴面DEG⊥面ADE.∴過點A作AM⊥DE于M,則AM⊥面DEG.∴∠ADE為直線AD與面DEG所成的角.

在Rt△ADE中,tan∠ADE=.∴∠ADE=arctan.∴AD與平面DEG所成的角為arctan2.

(文)過點B作BN⊥DG于點N,連結(jié)EN,由三垂線定理,知EN⊥DN.

∴∠ENB為二面角EGDA的平面角.

在Rt△BNG中,sin∠BGN=sin∠DGC=,∴BN=BG·sin∠BGN=·=.

則在Rt△EBN中,tan∠ENB=.

∴二面角EBDA的正切值為.