Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)(常數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(Ⅱ)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，.         …1分
.             又，                         
∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為.即.…3分
(Ⅱ)（1）下面先證明：．
設(shè)　，則，
且僅當(dāng)，所以，在上是增函數(shù)，故．
所以，，即．　　　…………………………5分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823191136007556.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
又，所以在上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù).所以， 　　　…9分
（3）下面討論函數(shù)的零點(diǎn)情況．
①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；　
②)當(dāng)，即時(shí)，，則
而，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)；  
③當(dāng)，即時(shí)， ,
由于，，
，
所以，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).　　　　……………………………………13分
綜上所述，在上，我們有結(jié)論：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).           ………………………………14分
解法二：(Ⅱ)依題意，可知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823191139252410.gif" style="vertical-align:middle;" />，
 .      ………5分
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
        ……………………6分
設(shè)（，常數(shù).
∴當(dāng)時(shí)，
且僅當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù).
∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，
取，得由此得.       …………9分
取得由此得.      
…10分
(1)當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；　 ………………………11分
(2)當(dāng)，即時(shí)，，則 而，
∴函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；  …12分  
(3)當(dāng)即時(shí).而，
∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). …13分  綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)
時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).  …14分

略