Question

已知曲線C：y=e^ax．
（Ⅰ）若曲線C在點(diǎn)（0，1）處的切線為y=2x+m，求實(shí)數(shù)a和m的值；
（Ⅱ）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，曲線C總在直線l：y=ax+b的上方，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，y=e^ax在x=0處的切線方程為y-1=y′（0）x，再比較已知條件，可得；
（Ⅱ）原題意可轉(zhuǎn)化為對(duì)于?x，a∈R，e^ax＞ax+b恒成立，法1：進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為?x，a∈R，e^ax-ax-b＞0恒成立，令g（x）=e^ax-ax-b，分別從a=0和a≠0兩種情況通過(guò)求導(dǎo)的方式進(jìn)一步分析；法2：進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為?x，a∈R，b＜e^ax-ax恒成立，再令t=ax，則等價(jià)于?t∈R，b＜e^t-t恒成立，再通過(guò)研究函數(shù)g（t）=e^t-t的性質(zhì)求解．

解答： 解：（Ⅰ）y'=ae^ax，
因?yàn)榍�線C在點(diǎn)（0，1）處的切線為L(zhǎng)：y=2x+m，
所以1=2×0+m且y'|_x=0=2．
解得m=1，a=2
（Ⅱ）法1：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，曲線C總在直線的y=ax+b的上方，等價(jià)于
?x，a∈R，都有e^ax＞ax+b，
即?x，a∈R，e^ax-ax-b＞0恒成立，
令g（x）=e^ax-ax-b，
①若a=0，則g（x）=1-b，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是b＜1；
②若a≠0，g'（x）=a（e^ax-1），
由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情況如下：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

所以g（x）的最小值為g（0）=1-b，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是b＜1；
綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是b＜1．
法2：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，曲線C總在直線的y=ax+b的上方，等價(jià)于
?x，a∈R，都有e^ax＞ax+b，即
?x，a∈R，b＜e^ax-ax恒成立，
令t=ax，則等價(jià)于?t∈R，b＜e^t-t恒成立，
令g（t）=e^t-t，則 g'（t）=e^t-1，
由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情況如下：

t	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（t）	-	0	+
g（t）	↘	極小值	↗

所以 g（t）=e^t-t的最小值為g（0）=1，
實(shí)數(shù)b的取值范圍是b＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題中的導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，是高考中經(jīng)常考查的知識(shí)點(diǎn)和方法，特別是第二小問(wèn)，通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化后，對(duì)于“?x，a∈R，e^ax-ax-b＞0恒成立，”的處理介紹了兩種方法，對(duì)于拓寬學(xué)生的思維，拓展學(xué)生的思路有一定的指導(dǎo)作用，不過(guò)不管是哪種方法，最終都需要用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)進(jìn)一步分析．