Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n能取到最大值，且滿足：a₉+3a₁₁＜0，a₁₀•a₁₁＜0，對于以下幾個結論：
①數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列；
②數(shù)列{S_n}是遞減數(shù)列
③數(shù)列{S_n}的最大項是S₁₀；
④數(shù)列{S_n}的最小的正數(shù)是S₁₉．
其中正確的結論的個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由前n項和S_n有最大值，可得數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，故①正確；設等差數(shù)列數(shù)列{a_n}的公差為d，可得2a₁+19d＜0，可得a₁₀+a₁₁＜0，結合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀＞0，a₁₁＜0，故③正確；又可得-9d＜a₁＜-

9

2

d．令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，解不等式組可得19≤n≤19，∴n=19，故④正確；由二次函數(shù)的性質可得②錯誤．

解答： 解：由前n項和S_n有最大值，可得數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，故①正確；
設等差數(shù)列數(shù)列{a_n}的公差為d，則有a₉+3a₁₁=4a₁+38d＜0，
化簡可得2a₁+19d＜0，可得a₁＜-

19

2

d，變形可得（a₁+9d）+（a₁+10d）=a₁₀+a₁₁＜0，
結合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀＞0，a₁₁＜0，故③正確；
又可得a₁₀ =a₁+9d＞0，a₁₁=a₁+10d＜0，故-9d＜a₁＜-10d．
綜上可得-9d＜a₁＜-

19

2

d，令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，可得na₁+

n(n-1)

2

d＞0，且 （n+1）a₁+

n(n+1)

2

d≤0
化簡可得 a₁+

n-1

2

d＜0，且a₁+

n+1

2

d＞0，即 n＜-

2a1

d

+1，且 n＞-

2a1

d

．

再由-9d＜a₁＜-

19d

2

，可得 18＜-

2a1

d

＜19，∴19≤n≤19，∴n=19，故④正確；
由二次函數(shù)的性質可得②錯誤，綜上①③④是正確的．
故答案為：①③④．

點評：題考查等差數(shù)列的性質，涉及二次函數(shù)的性質和不等式的性質，屬中檔題．