【題目】對(duì)于兩條平行直線、(在下方)和圖象有如下操作:將圖象在直線下方的部分沿直線翻折,其余部分保持不變,得到圖象;將圖象在直線上方的部分沿直線翻折,其余部分保持不變,得到圖象:再將圖在直線下方的部分沿直線翻折,其余部分保持不變,得到圖象;再將圖象在直線上方的部分沿直線翻折,其余部分保持不變,得到圖象;以此類推…;直到圖象上所有點(diǎn)均在、之間(含、上)操作停止,此時(shí)稱圖象為圖象關(guān)于直線、的“衍生圖形”,線段關(guān)于直線、的“衍生圖形”為折線段.
(1)直線型
平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線,直線
①令圖象為的函數(shù)圖象,則圖象的解析式為
②令圖像為的函數(shù)圖象,請(qǐng)你畫出和的圖象
③若函數(shù)的圖象與圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)在軸的左側(cè),那么的取值范圍是_______.
④請(qǐng)你觀察圖象并描述其單調(diào)性,直接寫出結(jié)果_______.
⑤請(qǐng)你觀察圖象并判斷其奇偶性,直接寫出結(jié)果_______.
⑥圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)為_______.
⑦任取圖象中橫坐標(biāo)的點(diǎn),那么在這個(gè)變化范圍中所能取到的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(_______,_______),最低點(diǎn)坐標(biāo)為(_______,_______).
⑧若直線與圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍是_______.
⑨根據(jù)函數(shù)圖象,請(qǐng)你寫出圖象的解析式_______.
(2)曲線型
若圖象為函數(shù)的圖象,
平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線,直線,
則我們可以很容易得到所對(duì)應(yīng)的解析式為.
①請(qǐng)畫出的圖象,記所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為.
②函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_______,單調(diào)減區(qū)間為_______.
③當(dāng)時(shí)候,函數(shù)的最大值為_______,最小值為_______.
④若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍為_______.
(3)封閉圖形型
平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線,直線
設(shè)圖象為四邊形,其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,,,四邊形關(guān)于直線、的“衍生圖形”為.
①的周長為_______.
②若直線平分的周長,則_______.
③將沿右上方方向平移個(gè)單位,則平移過程中所掃過的面積為_______.
【答案】(1)①;②函數(shù)圖像見解析;③;④的單調(diào)遞增區(qū)間為,,的單調(diào)遞減區(qū)間為,;⑤偶函數(shù);
⑥;⑦,;⑧
⑨
(2)①詳圖見解析;②增區(qū)間和,減區(qū)間和
③最大值為12,最小值為0;④
(3)①;②;③
【解析】
通過對(duì)“衍生圖形”概念的理解,需要先定位兩條平行直線、,隨著平行直線的變化,“衍生圖形”最終也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。
解題過程中抓住兩個(gè)核心:只要是第奇數(shù)次翻折,那么圖像就要把位于下面的沿著向上翻折;只要是第偶數(shù)次翻折,圖像就把位于上面的向下翻折,解題過程只要依據(jù)翻折的基本原理,結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì),逐步求解即可
首先對(duì)于(1)直線型
兩平行直線為直線,直線
對(duì)①,當(dāng)發(fā)生第一次翻折,的圖像相當(dāng)于把軸下方圖像沿著軸向上翻折,此時(shí)應(yīng)滿足
對(duì)②,圖像如圖所示
對(duì)③,,圖像恒過,又因與圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)在軸的左側(cè),如圖所示
若只有一個(gè)交點(diǎn),應(yīng)滿足
對(duì)④,根據(jù)圖像,的單調(diào)遞增區(qū)間為,
的單調(diào)遞減區(qū)間為,
對(duì)⑤,圖像關(guān)于軸對(duì)稱,為偶函數(shù)
對(duì)⑥,圖像對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)為:
對(duì)⑦,圖像在上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為,最低點(diǎn)的坐標(biāo)為
對(duì)⑧,若直線與圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn),由圖像可知
則
對(duì)⑨,觀察圖像特點(diǎn)為偶函數(shù),當(dāng),,當(dāng)和時(shí),,則
對(duì)于(2)曲線型
,所對(duì)應(yīng)的解析式為
對(duì)①,圖像如圖所示
對(duì)②,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為和
對(duì)③,當(dāng)時(shí)候,函數(shù)的最大值為,最小值為
對(duì)④,④若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即等價(jià)于與圖像有四個(gè)交點(diǎn)
如圖所示:
要使兩函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn),應(yīng)滿足,解得
(3)封閉型曲線,根據(jù)題意先畫出四邊形的“衍生圖形”,
對(duì)①,的周長為
對(duì)②,
要使被直線平分周長,則假設(shè)直線與交點(diǎn)為,與直線交點(diǎn)為,則應(yīng)滿足
直線方程為:,直線方程為:
聯(lián)立直線得,
聯(lián)立直線得,
由得,解得
對(duì)③,如圖所示
平移之后掃過的面積應(yīng)為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為打入國際市場,決定從、兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn),已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:(單位:萬美元)
年固定成本 | 每件產(chǎn)品成本 | 每件產(chǎn)品銷售價(jià) | 每年最多可生產(chǎn)的件數(shù) | |
A產(chǎn)品 | 20 | 10 | 200 | |
B產(chǎn)品 | 40 | 8 | 18 | 120 |
其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān),是待定常數(shù),其值由生產(chǎn)產(chǎn)品的原材料決定,預(yù)計(jì),另外,年銷售件B產(chǎn)品時(shí)需上交萬美元的特別關(guān)稅,假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去.
(1)求該廠分別投資生產(chǎn)A、兩種產(chǎn)品的年利潤與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,并求出其定義域;
(2)如何投資才可獲得最大年利潤?請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)相關(guān)方案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知傾斜角為的直線經(jīng)過點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為
(1)寫出曲線的普通方程;
(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)定義域?yàn)?/span>,“是“在區(qū)間上單調(diào)遞增的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)滿足如下四個(gè)條件:
①定義域?yàn)?/span>;
②;
③當(dāng)時(shí),;
④對(duì)任意滿足.
根據(jù)上述條件,求解下列問題:
⑴求及的值.
⑵應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明的單調(diào)性.
⑶求不等式的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,關(guān)于x的方程[f(x)]2+mf(x)﹣1=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,e﹣ )
B.(e﹣ ,+∞)
C.(0,e)
D.(1,e)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若有最小值,求的取值范圍,并求出的最小值;
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民收入逐年增長,下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額),如下表1:
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
儲(chǔ)蓄存款y (千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為了研究計(jì)算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,得到下表2:
時(shí)間代號(hào)t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)通過(1)中的方程,求出y關(guān)于x的回歸方程;
(3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2020年年底,該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少?
(附:對(duì)于線性回歸方程,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓右焦點(diǎn),離心率為,過作兩條互相垂直的弦,設(shè)中點(diǎn)分別為.
(1)求橢圓的方程;
(2) 證明:直線必過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo);
(3) 若弦的斜率均存在,求面積的最大值.
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