Question

下列命題：
①數(shù)列{a_n}為遞減的等差數(shù)列且a₁+a₅=0，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則當(dāng)n=4時(shí)，S_n取得最大值；
②設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx+c，則x₀滿足關(guān)于方程2x+b=0的充要條件是對(duì)任意x∈R均有f（x）≥f（x₀）；
③在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為

10

5

；
④定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（5+x）=f（-x）且(x-

5

2

)f/（x）＞0，已知x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要條件．
其中正確命題的序號(hào)是

 

（把所有正確命題的序號(hào)都寫上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性判斷出①不正確；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出②正確；由題意和線面角的定義判斷出③正確；由函數(shù)的對(duì)稱性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系判斷出④正確．

解答： 解：對(duì)①，由等差數(shù)列的性質(zhì)和a₁+a₅=2a₃=0，得a₃=0，
又?jǐn)?shù)列{a_n}單調(diào)遞減，所以當(dāng)n=2或n=3時(shí)，S_n取得最大值，則①不正確；
對(duì)②，當(dāng)x₀=-

b

2

時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+bx+c取最小值，即f（x）≥f（-

b

2

），
由2x+b=0得，x=-

b

2

，即x₀=-

b

2

，故條件充分，
反之也成立，故必要，則②正確；
對(duì)③，于連結(jié)A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O，連結(jié)OB
由已知得C₁O⊥面BB₁D₁D，∴∠C₁BO為所求角，
在Rt△C₁OB中，得sin∠C1BO=

10

5

，③正確；
對(duì)④，∵f（5+x）=f（-x），所以函數(shù)f（x）關(guān)于x=

5

2

對(duì)稱
∵（x-

5

2

）f′（x）＞0，
∴x＞

5

2

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜

5

2

時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，若f（x₁）＞f（x₂）則有x₁＜x₂＜5-x₁，∴x₁+x₂＜5成立，故條件充分，
當(dāng)x₁+x₂＜5時(shí)，必有x₂＜5-x₁成立，又因?yàn)閤₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要，
f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要條件，則④正確，
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假性判斷，充要性的判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度大．