Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（m+1）-ma_n對任意正整數(shù)n都成立，其中m為常數(shù)，m＜-1
（1）求證：{a_n（2）}是等比數(shù)列；
（3）設數(shù)列{a_n（4）}的公比q=f（m）（5），數(shù)列{b_n}（6）滿足：（7），b_n=f（b_n-1）（8）（n≥2，n∈N）（9），求數(shù)列{b_nb_n+1}（10）的前n（11）項和T_n（12）

Answer 1

解：（1）由已知S_n+1=（m+1）-ma_n+1（1）S_n=（m+1）-ma_n（2）
由（1）-（2）得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即（m+1）a_n+1=ma_n對任意n∈N^*都成立．∵m為常數(shù)，且m＜-1．
又∵a₁=1≠0∴，即數(shù)列{a_n}等比數(shù)列（5分）
（2）當n=1時，a₁=（m+1）-ma₁，
∴a₁=1，從而 ，由（1）得，
∴
∴，即 ．
∴為等差數(shù)列，，，
=，
T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1
=
=．
分析：（1）由已知得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，即（m+1）a_n+1=ma_n對任意n∈N^*都成立．所以 ，由此知數(shù)列{a_n}等比數(shù)列．
（2）因為a₁=1，從而 ，所以 ，，即 ． ，，由此入手能求出T_n．
點評：本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意遞推公式的靈活運用．