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5.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=12公比q>0,S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差數(shù)列.
(1)求an
(2)設(shè)bn=1log2an2,cn=(n+1)bnbn+2,求數(shù)列{cn}的前項和Tn

分析 (1)運用等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式,解方程可得公比q,進而得到所求通項公式;
(2)求得bn=1log212n2=1n2,cn=(n+1)bnbn+2=(n+1)•1n2n+22=14[1n2-1n+22],運用數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,化簡整理即可得到所求和.

解答 解:(1)由S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差數(shù)列,
可得2(S3+a3)=S2+a2+S1+a1
即有2a1(1+q+2q2)=3a1+2a1q,
化為4q2=1,公比q>0,
解得q=12
則an=(12n
(2)bn=1log2an2=1log212n2=1n2,
cn=(n+1)bnbn+2=(n+1)•1n2n+22=14[1n2-1n+22],
則前n項和Tn=c1+c2+c3+…+cn-1+cn
=14[1-132+122-142+132-152+…+1n12-1n+12+1n2-1n+22]
=14[1+14-1n+12-1n+22]=14[54-1n+12-1n+22].

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的運用和等差數(shù)列的中項的性質(zhì),考查數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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16.已知函數(shù)f(x)=lnx.
(1)若直線y=2x+p(p∈R)是函數(shù)y=f(x)圖象的一條切線,求實數(shù)p的值;
(2)若函數(shù)g(x)=x-\frac{m}{x}-2f(x)(m∈R)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2
①求實數(shù)m的取值范圍;
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13.若函數(shù)f(x)=x4-ax2-bx-1在x=1處有極值,則9a+3b的最小值為(  )
A.4B.9C.18D.81

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(1)若a=2,求函數(shù)g(x)=\frac{f(x)}{x}的圖象在點(1,g(1))處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在(\frac{1}{e},e)內(nèi)存在兩個極值點,求實數(shù)a的取值范圍.

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10.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3ax+{a}^{2}-3,(x<0)}\\{2{e}^{x}-(x-a)^{2}+3,(x>0)}\end{array}\right.,a∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱,求a的范圍;
(Ⅲ)當(dāng)x≥2時,記g(x)=f(x)+(x-a)2+(a-x)3-3+6ex,若g(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

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17.(1)已知函數(shù)f(x)=13-8x+\sqrt{2}x2,且f′(x0)=4,求x0的值.
(2)已知函數(shù)f(x)=x2+2xf′(0),求f′(0)的值.

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