已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-bx+c(b,c∈R)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1,求b,c的值;
(Ⅱ)若b=1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有唯一零點,求c的取值范圍;
(Ⅲ)若對任意的x1,x2∈[-1,1],均有|f(x1)-f(x2)|
4
3
,求b的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先求導函數(shù)f′(x),根據(jù)f′(1)=2可求出b的值,再根據(jù)切點既在切線上又在函數(shù)圖象上可求出c的值;
(Ⅱ)先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而得到f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有唯一零點等價于f(1)=0或
f(0)≤0
f(2)>0
,解之即可求出c的取值范圍;
(Ⅲ)若對任意的x1,x2∈[-1,1],均有|f(x1)-f(x2)|
4
3
等價于f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值之差M≤
4
3
,討論b的取值范圍,求出f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值之差M,建立關系式,解之即可.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=
1
3
x3-bx+c,
∴f′(x)=x2-b,
∴f′(1)=1-b=2,解得b=-1,
又f(1)=2+1=3,
1
3
-b+c=3,解得c=
5
3

(Ⅱ)∵b=1,
∴f(x)=
1
3
x3-x+c,則f′(x)=x2-1,
當x∈(0,1)時,f′(x)<0,當x∈(1,2)時,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,
又f(0)=c<f(2)=
2
3
+c,
可知f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有唯一零點等價于f(1)=0或
f(0)=c≤0
f(2)=
2
3
+c>0
,
解得c=
2
3
或-
2
3
<c≤0;
(Ⅲ) 若對任意的x1,x2∈[-1,1],均有|f(x1)-f(x2)|
4
3
等價于f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值之差M≤
4
3
,
(。 當b≤0時,在[-1,1]上f′(x)≥0,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,
由M=f(1)-f(-1)=
2
3
-2b≤
4
3
,得b≥-
1
3
,所以-
1
3
≤b≤0,
(ⅱ)當b>0時,由f′(x)=0得x=±
b
,
由f(x)=f(-
b
)得x=2
b
或x=-
b

∴f(2
b
)=f(-
b
),同理f(-2
b
)=f(
b
),
①當
b
>1,即b>1時,M=f(-1)-f(1)=2b-
2
3
4
3
,與題設矛盾,
②當
b
≤1≤2
b
,即
1
4
≤b≤1時,M=f(-2
b
)-f(
b
)=-
2
3
(
b
)3
+2b
b
=
4
3
(
b
)3
4
3
恒成立,
③當2
b
<1,即0<b<
1
4
時,M=f(1)-f(-1)=
2
3
-2b≤
4
3
恒成立,
綜上所述,b的取值范圍為[-
1
3
,1].
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,導數(shù)的幾何意義,以及研究函數(shù)的零點問題,對于利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,注意導數(shù)的正負對應著函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)最值問題時,經(jīng)常會運用分類討論的數(shù)學思想方法.屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實數(shù)x的取值范圍是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
0,x∉Q
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+lnx(a>0)

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(2)當a=1時,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當a=1時,求證對任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
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