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5.已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x2+1)(x+a)
(1)若函數(shù)f(x)在R上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若f′(1)=0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,12]上的最大值和最小值;
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,12]上不具有單調(diào)性,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到f′(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)△>0,求出a的范圍即可;
(2)根據(jù)f′(1)=0,求出a,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可;
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,12]上不具有單調(diào)性,得到f′(x)在[-1,12]有解,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組,解出即可.

解答 解:(1)∵f(x)=(x2+1)(x+a)=x3+ax2+x+a,
∴f′(x)=3x2+2ax+1,
若函數(shù)f(x)在R上存在極值,
則f′(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴△=4a2-12>0,解得:a>3或a<-3;
(2)f′(x)=3x2+2ax+1,若f′(1)=0,
即3+2a+1=0,解得:a=-2,
∴f′(x)=(3x-1)(x-1),
x∈[-1,12]時(shí),x-1<0,
令f′(x)>0,解得:x<13,令f′(x)<0,解得:x>13,
∴f(x)在[-1,13)遞增,在(13,12]遞減,
∴f(x)max=f(13)=-5027,f(x)min=f(-1)=-6;
(3)由(1)得:f′(x)=3x2+2ax+1,對(duì)稱軸x=-a3,
若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,12]上不具有單調(diào)性,
則f′(x)在[-1,12]有解,而f(0)=1>0,
∴只需{1a30fa30{a31f10,
解得:3<a<3或a≥3,
故a>3

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì),是一道中檔題.

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