Question

已知函數(shù)f(x)=sin(x+

7π

4

)+cos(x-

3π

4

)．
（Ⅰ）求f（x）的對稱軸方程；
（Ⅱ）已知sin(α+β)=-

3

5

，cos(β+

π

4

)=-

4

5

，α，β∈(

π

2

3π

4

)，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的三角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin(x-

π

4

)，令x-

π

4

=kπ+

π

2

，由此求得f（x）的對稱軸方程．
（Ⅱ）利用兩角和的三角公式化簡函數(shù)f（α）的解析式，由條件求得cos(α+β)=-

4

5

，sin(β+

π

4

)=

3

5

，代入f（α）的解析式，運算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）由于f(x)=sinxcos

7π

4

+cosxsin

7π

4

+cosxcos

3π

4

+sinxsin

3π

4

=

2

sinx-

2

cosx=2sin(x-

π

4

)，
令x-

π

4

=kπ+

π

2

，
解得f（x）的對稱軸是x=kπ+

3π

4

，k∈Z．
（Ⅱ）f(α)=2sin(α-

π

4

)=2sin[(α+β)-(β+

π

4

)]=2sin(α+β)cos(β+

π

4

)-2cos(α+β)sin(β+

π

4

)．…（*）
∵

π

2

＜α＜β≤

3π

4

，
∴α+β∈(π，

3π

2

)，β+

π

4

∈(

3π

4

，π)，
∴cos(α+β)=-

4

5

，sin(β+

π

4

)=

3

5

代入（*）式得f(α)=

48

25

．

點評：本題主要考查兩角和的三角公式的應用，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．