Question

10．設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=e^x-2x+2a，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）當x＞0時，求證：a＞ln2-1是e^x＞x²-2ax+1的充分不必要條件．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=e^x-2x+2a，x∈R，知f′（x）=e^x-2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值．
（2）設g（x）=e^x-x²+2ax-1，x∈R，于是g′（x）=e^x-2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2-1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．由此能夠證明e^x＞x²-2ax+1．

解答 （1）解：∵f（x）=e^x-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=e^x-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	2（1-ln2+a）	單調(diào)遞增

故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，ln2），
單調(diào)遞增區(qū)間是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2處取得極小值，
極小值為f（ln2）=e^ln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a），無極大值．
（2）證明：設g（x）=e^x-x²+2ax-1，x∈R，
于是g′（x）=e^x-2x+2a，x∈R．
由（1）知當a＞ln2-1時，
g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．
于是對任意x∈R，都有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．
于是當a＞ln2-1時，對任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）＞g（0）．
而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即e^x-x²+2ax-1＞0，
故當a＞ln2-1且x＞0時，e^x＞x²-2ax+1．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質(zhì)的應用．解題時要認真審題，仔細解答．