Question

已知函數（其中，e是自然對數的底數）．

（Ⅰ）若，試判斷函數在區(qū)間上的單調性；

（Ⅱ）若函數有兩個極值點，（），求k的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試證明．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在區(qū)間上是單調遞減函數；（Ⅱ）k的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入求導，根據其符號即可得其單調性；（Ⅱ）函數有兩個極值點，，則，是的兩個根，即方程有兩個根.接下來就研究函數圖象特征，結合圖象便可知取何值時，方程有兩個根.

（Ⅲ）結合圖象可知，函數的兩個極值點，滿足.

，這里面有兩個變量，那么能否換掉一個呢？

由，得，利用這個關系式便可將換掉而只留：

，這樣根據的范圍，便可得，從而使問題得證.

試題解析：（Ⅰ）若，，則，

當時，，

故函數在區(qū)間上是單調遞減函數． 4分

（Ⅱ）函數有兩個極值點，，則，是的兩個根，

即方程有兩個根，設，則，

當時，，函數單調遞增且；

當時，，函數單調遞增且；

當時，，函數單調遞減且．

要使有兩個根，只需，

故實數k的取值范圍是． 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函數的兩個極值點，滿足， 10分

由，得，

所以，

由于，故，

所以． 14分

考點：1、導數的應用；2、不等關系.