Question

設(shè)函數(shù)f(x)=2ax-

b

x

+lnx，若f（x）在x=1，x=

1

2

處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）存在x0∈[

1

4

，2]使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值．

Answer 1

分析：（1）由真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由取得極值的必要條件得f′(1)=0，f′(

1

2

)=0，列出方程組進行求解；
（2）由f（x₀）-c≤0成立，轉(zhuǎn)化為c≥[f（x）]_min，再由導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的極值，再求出區(qū)間端點處的函數(shù)值進行比較，求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，定義域為（0，+∞），
∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

．…（1分），
∵f(x)在x=1，x=

1

2

處取得極值，
∴f′(1)=0，f′(

1

2

)=0…（2分）
即

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

，解得

a=- 1 3 b=- 1 3

，
∴所求的a，b的值分別為-

1

3

，-

1

3

…（4分）
（ii）因在[

1

4

，2]存在x_o，使得不等式f（x_o）-c≤0成立，
故只需c≥[f（x）]_min，
由f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

．…（6分）
f'（x）導(dǎo)數(shù)的符號如圖所示
∴f（x）在區(qū)間[

1

4

，

1

2

]，[1，2]遞減；
[

1

2

，1]遞增；…（7分）
∴f（x）在區(qū)間 [

1

4

，2]上的極小值是f(

1

2

)=

1

3

-ln2．…（8分）
而f(2)=-

7

6

+1n2，且f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-1n4=1ne

3

2

-1n4，
又∵e³-16＞0，∴1ne

3

2

-1n4＞0…（10分）
∴[f（x）]_min=f（2）…（11分）
∴c≥[f(x)]min=-

7

6

+ln2，即c的最小值是-

7

6

+ln2…（12分）

點評：本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題，以及恒成立轉(zhuǎn)化問題，考查了分析及解決問題的能力．