Question

已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6，且a₁，a₃，a₁₅成等比數列，求數列{a_n}的通項a_n．

Answer 1

分析：由已知中前n項和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6，令n=1，我們可以求出a₁，根據a_n=S_n-S_n-1，我可可以得到a_n與a_n-1的關系式，結合a₁，a₃，a₁₅成等比數列，我們分類討論后，即可得到滿足條件的a₁及a_n與a_n-1的關系，進而求出數列{a_n}的通項a_n．

解答：解：∵10S_n=a_n²+5a_n+6，①
∴10a₁=a₁²+5a₁+6，
解之得a₁=2或a₁=3．
又10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），②
由①-②得 10a_n=（a_n²-a_n-1²）+5（a_n-a_n-1），
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=5 （n≥2）．
當a₁=3時，a₃=13，a₁₅=73． a₁，a₃，a₁₅不成
等比數列∴a₁≠3；
當a₁=2時，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅，
∴a₁=2，∴a_n=5n-3．

點評：本題考查的知識點是數列的通項公式，數列的函數特征，其中在已知中包含有S_n的表達式，求通項a_n時，a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是最常用的辦法．