Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E．
（Ⅰ）若D為AC的中點，證明：∠OED=90°；
（Ⅱ）若CE=1，OA=$\sqrt{3}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AE和OE，由三角形和圓的知識易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）設(shè)AE=x，由射影定理可得關(guān)于x的方程x²=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，解方程得x值，可得AE的長．

解答 （Ⅰ）證明：連接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
連接OE，則∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°；
（Ⅱ）解：設(shè)AE=x，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，
由射影定理可得AE²=CE•BE，
∴x²=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，即x⁴+x²-12=0，
解方程可得x=$\sqrt{3}$，∴AE=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓的切線的判定，涉及射影定理和三角形的知識，屬中檔題．