已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0.
(1)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),求f(x)的解析式;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值;
(3)要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上單調(diào)遞增,求b的取值范圍.
【答案】分析:(1)由函數(shù)為偶函數(shù),則有f(-x)=f(x)恒成立,再用待定系數(shù)法求解.
(2)由(1)易知其對(duì)稱軸和開(kāi)口方向,明確其單調(diào)性,再求函數(shù)最值.
(3)先用配方法將函數(shù)變形,求出其對(duì)稱軸,由“在區(qū)間[-1,3]上單調(diào)遞增”則有,再求解即可.
解答:解:(1)∵函數(shù)為偶函數(shù),
∴f(-x)=f(x),x∈R恒成立,
即:x2-bx+c=x2+bx+c
∴b=0
又∵f(1)=0.
∴c=-1
∴f(x)=x2-1;
(2)由(1)易知其對(duì)稱軸為:x=0
∴當(dāng)x=0時(shí),?f(x)min=-1,?
當(dāng)x=3時(shí),f(x)max=8;
(3)∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上單調(diào)遞增

∴b≥2
即b≥2時(shí),f(x)在區(qū)間[-1,3]上是遞增的.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查二次函數(shù)解析式,單調(diào)性與最值的求法,明確對(duì)稱軸和開(kāi)口方向是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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