Question

11．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求A；
（2）若AD為BC邊上的中線，cosB=$\frac{1}{7}$，AD=$\frac{\sqrt{129}}{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知的式子，由內角和定理、誘導公式、兩角和差的正弦公式化簡后，由內角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A；
（2）由題意和平方關系求出sinB，由內角和定理、誘導公式、兩角和的正弦公式求出sinC，由正弦定理求出a和c關系，根據(jù)題意和余弦定理列出方程，代入數(shù)據(jù)求出a、c，由三角形的面積公式求出答案．

解答 解：（1）由題意知，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
由正弦定理得：sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-sinC=0，
由sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）得，
sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0，
則$\sqrt{3}$sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
又sinC≠0，則$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
化簡得，$2sin（A-\frac{π}{6}）=1$，即$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$；
（2）在△ABC中，cosB=$\frac{1}{7}$得，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$…（7分）
則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$…（8分）
由正弦定理得，$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=$\frac{7}{5}$…（9分）
設a=7x、c=5x，
在△ABD中，由余弦定理得：
AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cosB，
$\frac{129}{4}=25{x}^{2}+\frac{1}{4}×49{x}^{2}-2×5x×\frac{1}{2}×7x×\frac{1}{7}$，
解得x=1，
則a=7，c=5…（11分）
所以△ABC的面積S=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×7×5×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$10\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式，以及兩角和差的正弦公式等，注意內角的范圍，考查化簡、變形、計算能力．