Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為s_n，且滿足a₂a₃=45，a₁+a₄=14
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）數(shù)列{b_n}的通項公式為bn=

sn

n+c

，若{b_n}也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為s_n，且滿足a₂a₃=45，a₁+a₄=14，我們構(gòu)造出關(guān)于首項和公差的方程，解方程求出首項和公差，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得到s_n的表達(dá)式，再根據(jù)bn=

sn

n+c

，可得數(shù)列{b_n}的前3項，根據(jù){b_n}也是等差數(shù)列，構(gòu)造關(guān)于b的方程，即可求出非零常數(shù)c的值．

解答：解：（1）{a_n}為等差數(shù)列，所以a₁+a₄=a₂+a₃=14，
又a₂a₃=45，所以a₂，a₃是方程x²-14x+45=0的兩實根，公差d＞0，
∴a₂＜a₃∴a₂=5，a₃=9
∴

a1+d=5 a1+2d=9

⇒

a1=1 d=4

所以a_n=4n-3
（2）由（1）知s_n=2n²-n，
所以bn=

sn

n+c

=

2n2-n

n+c

∴b1=

1

1+c

，b2=

6

2+c

，b3=

15

3+c

又{b_n}也是等差數(shù)列，∴b₁+b₃=2b₂
即 2•

6

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，解得c=-

1

2

或c=0（舍去）
∴b_n=2n是等差數(shù)列，故c=-

1

2

點評：本題考查的知識點是等差數(shù)列的通項公式，其中求等差數(shù)列的通項公式時，根據(jù)已知構(gòu)造出關(guān)于首項和公差的方程，是最常用的辦法．