Question

（本題滿(mǎn)分14分）已知四邊形滿(mǎn)足∥，，是的中點(diǎn)，將沿著翻折成，使面面，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求四棱錐的體積；（Ⅱ）證明：∥面；

（Ⅲ）求面與面所成二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)連接，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313055655839813/SYS201301131308292927414083_DA.files/image006.png">，所以為等邊三角形，

所以，

又因?yàn)槊?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313055655839813/SYS201301131308292927414083_DA.files/image009.png">面，所以面，                       ……2分

所以四棱錐的體積               ……5分

（Ⅱ）連接交于，連接，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313055655839813/SYS201301131308292927414083_DA.files/image010.png">為菱形，所以，

又為的中點(diǎn)，所以∥，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313055655839813/SYS201301131308292927414083_DA.files/image024.png">,,

所以∥面.                                                   ……9分

（Ⅲ）連接，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則

,

                                  ……10分

設(shè)面的法向量，則，

令，則.

設(shè)面的法向量為，則，

令，則.                                         ……12分

則所以二面角的余弦值為        ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定和證明，考查椎體體積公式的應(yīng)用和二面角的求法，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：解答立體幾何的證明題，要把定理需要的條件意義列出來(lái)，缺一不可；求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.