Question

已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：

存在非零常數T，對任意x∈R，有f（x＋T）＝Tf（x）成立．

　�。�Ⅰ）函數f（x）＝x是否屬于集合M?說明理由；

　�。�Ⅱ）設函數f（x）＝（a＞0且a≠1）的圖像與y＝x的圖像有公共點，

證明：f（x）＝∈M；

　　（Ⅲ）若函數f（x）＝sinkx∈M，求實數k的取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）對于非零常數T，f(x＋T)＝x＋T，Tf(x)＝Tx． 　　因為對任意x∈R，x＋T＝Tx不能恒成立．  所以f(x)＝xM. 　 （Ⅱ）因為函數的圖像與函數y＝x的圖像有公共點， 所以方程組：有解， 消去y得，顯然x＝0不是方程的解，所以存在非零常數T，使． 　　于是對于，有， 故M． 　（Ⅲ）當k＝0時,f(x)＝0，顯然f(x)＝0∈M.  當k0時，因為∈M，所以存在非零常數T， 　　對任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立，即． 　　因為，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R， 于是[－1，1]，∈[－1，1]， 　　故要使成立，只有T＝1．  當T＝1時，成立，則，m∈Z． 　　當T＝－1時，成立，  即成立． 　　則－k＋＝2m，m∈Z，即k＝－(2m－1)，m∈Z． 綜合得，實數k的取值范圍是{k|k＝m，m∈Z}.