Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x，x∈R，曲線y=f（x）在點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=g（x），設h（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）若x₀=2，求函數(shù)h（x）的解析式；
（Ⅱ）若x₀∈R，討論函數(shù)h（x）的單調性．

Answer 1

解：（I）f′（x）=3x²-3，f（2）=2，f′（2）=9
∴切線方程為：y-2=9（x-2）
∴g（x）=9x-16
∴h（x）=x³-12x+16
（II）設曲線y=f（x）在點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為：y=（3x₀-3）x-2x₀³
∴g（x）=（3x₀-3）x-2x₀³
∴h（x）=x³-3x₀²x+2x₀³
∴h′（x）=3x²-3x₀²=3（x-x₀）（x+x₀）
令h′（x）=3x²-3x₀²=3（x-x₀）（x+x₀）＜0
①當x₀＞0時，h（x）在（-∞，-x₀]是增函數(shù)，在[-x₀，，x₀]是減函數(shù)，在[x₀，，+∞）是增函數(shù)；
②當x₀＜0時，h（x）在（-∞，-x₀]是增函數(shù)，在[-x₀，，x₀]是減函數(shù)，在[x₀，，+∞）是增函數(shù)；
③當x₀=0時，h（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)；
綜上：①當x₀＞0時，h（x）的增區(qū)間是：（-∞，-x₀]，[x₀，，+∞），減區(qū)間是：[-x₀，，x₀]；
②當x₀＜0時，h（x）的增區(qū)間是：（-∞，x₀]，[-x₀，，+∞），減區(qū)間是：[x₀，，-x₀]；
③當x₀=0時，h（x）的增區(qū)間是：（-∞，+∞）．
分析：（I）因為是高次函數(shù)，所以用導數(shù)求得函數(shù)的切線的方程，即得g（x），從而得到h（x）
（II）先整理得到h（x）=x³-3x₀²x+2x₀³，再求導，由導數(shù)的正負來確定其單調性，要注意x₀的影響．
點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義及用導數(shù)法研究函數(shù)的單調性，由于參數(shù)的存在，增大了題目的難度，應注意分類討論．