Question

用三個(gè)全等的等腰三角形拼接成一個(gè)正三棱錐形的漏斗（如圖）．已知三角形的一腰長(zhǎng)為2．
（Ⅰ）將漏斗容積V表示成關(guān)于三棱錐高h(yuǎn)的函數(shù)關(guān)系式．
（Ⅱ）求漏斗容積的最大值，并求此時(shí)漏斗的高與等腰三角形的頂角大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出漏斗的上底面邊長(zhǎng)，結(jié)合腰長(zhǎng)為2求出底邊上的高，把底面邊長(zhǎng)用高表示，則可以求得漏斗容積V關(guān)于三棱錐高h(yuǎn)的函數(shù)關(guān)系式．
（Ⅱ）求出V關(guān)于h的函數(shù)式的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷出單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值并求出漏斗的高與等腰三角形的頂角大�。�

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a，則三棱錐底面三角形邊上的高為

3

2

a
∴（

2

3

×

3

2

a）²+h²=4，即h²+

1

3

a²=4
∴V=

1

3

×

3

4

×a²×h=

3

12

h(12-3h2)=

3

h-

3

4

h3(0＜h＜2)；
（Ⅱ）∵V'=

3

-

3 3

4

h2，令V'=0，即h=

2

3

3

當(dāng)0＜h＜

2

3

3

時(shí)，V'＞0
當(dāng)

2

3

3

＜h＜2時(shí)，V'＜0
∴h=

2

3

3

時(shí)V取得極大值為

4

3

并且這個(gè)極大值是最大值
把h=

2

3

3

代入h²+

1

3

a²=4，得a=2

2

∴在△ASB中，∠ASB=

π

2

即漏斗容器的最大值為

4

3

，此時(shí)漏斗的高為

2

3

3

，等腰三角形的頂角為

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了錐體體積的表示方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解答的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系，是中檔題．