Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最高點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{π}{8}$，2），由最高點(diǎn)D運(yùn)動到相鄰最低點(diǎn)時，函數(shù)圖形與x的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3π}{8}$，0）；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值以及分別取得最大值和最小值時相應(yīng)的自變量x的值．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)減區(qū)間及對稱中心．

Answer 1

分析 （1）由已知可求T，利用周期公式可求ω，由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{π}{8}$，2），可得2×$\frac{π}{8}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ=$\frac{π}{4}$，即可得解函數(shù)的解析式．
（2）由已知可求2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的最大值和最小值以及分別取得最大值和最小值時相應(yīng)的自變量x的值．
（3）利用三角函數(shù)平移變換可求g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，對稱性即可得解．

解答 解：（1）∵由最高點(diǎn)D（$\frac{π}{8}$，2）運(yùn)動到相鄰最低點(diǎn)時，函數(shù)圖形與x軸的交點(diǎn)為（$\frac{3π}{8}$，0），
所以周期的四分之一即$\frac{T}{4}$=$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{8}$=$\frac{π}{4}$，∴T=π，又T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{π}{8}$，2），代入函數(shù)解析式得2sin（2×$\frac{π}{8}$+φ）=2，
所以2×$\frac{π}{8}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以φ=$\frac{π}{4}$，
∴函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
所以2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$，即x=-$\frac{π}{4}$時；函數(shù)f（x）有最小值-$\sqrt{2}$，
2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時；函數(shù)f（x）有最大值2．
（3）由題意g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，
∴g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）因?yàn)檎�弦函�?shù)y=sinx的減區(qū)間是[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z
所以有2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，k∈Z，
故函數(shù)g（x）的減區(qū)間為[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z，
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，解得：x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
可得函數(shù)y=g（x）的對稱中心為（$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，0），k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．