分析 根據(jù)an+1=Sn+1-Sn及前n項和Sn=$\frac{1}{8}$(an+2)2,可以得到(an+1+an)(an+1-an-4)=0,可得數(shù)列{an}的通項公式,進而由bn=$\frac{1}{2}$an-30得到數(shù)列{bn}的通項公式,然后可求數(shù)列{bn}的前n項和,再由此求其最小值,最小值有兩種求法,其一是轉化為二次函數(shù)的最值,其二是找出正負轉折的項.即可得到結論.
解答 解:∵an+1=Sn+1-Sn=$\frac{1}{8}$(an+1+2)2-$\frac{1}{8}$(an+2)2,
∴8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2,
∴(an+1-2)2-(an+2)2=0,(an+1+an)(an+1-an-4)=0.
∵an∈N*,
∴an+1+an≠0,
∴an+1-an-4=0.
即an+1-an=4,∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
當n=1時,a1=S1=$\frac{1}{8}$(a1+2)2,解得a1=2.
∴an=4n-2,
bn=$\frac{1}{2}$an-30=2n-31,(以下用兩種方法求解)
法一:由bn=2n-31可得:首項b1=-29,公差d=2
∴數(shù)列{bn}的前n項和sn=n2-30n=(n-15)2-225
∴當n=15時,sn=-225為最小,
法二:由$\left\{\begin{array}{l}{2n-31≤0}\\{2(n+1)-31≥0}\end{array}\right.$得$\frac{29}{2}$≤n≤$\frac{31}{2}$.∵n∈N*,∴n=15,
∴{an}前15項為負值,以后各項均為正值.
∴S15最小,
故答案為:15
點評 本題主要考查數(shù)列遞推公式的應用,根據(jù)條件判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列是解決本題的關鍵,在求出等差數(shù)列前n項和的最值問題是數(shù)列中較為常見的一種類型,主要方法有兩種:法一只適用于等差數(shù)列的和的最值問題,對于其他數(shù)列,因為不能轉化為關于n的二次函數(shù),所以無法使用,有一定的局限性;法二是常規(guī)方法,使用范圍廣,其特點是找到遞增或遞減的數(shù)列中正項和負項的轉折“點”而得到答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $-\frac{2}{3}$ | B. | $-\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{6}{5}$ | D. | 1 |
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A. | (-∞,4] | B. | (-∞,2] | C. | [0,2] | D. | [0,4] |
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