【題目】在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c(a<b<c).已知向量 =(a,c), =(cosC,cosA)滿足 = (a+c).
(1)求證:a+c=2b;
(2)若2csinA﹣ a=0,且c﹣a=8,求△ABC的面積S.
【答案】
(1)證明:∵向量 =(a,c), =(cosC,cosA)滿足 = (a+c).
∴acosC+ccosA= (a+c),
∴a× +c× = ,
∴2b=a+c
(2)解:∵2csinA﹣ a=0,
∴2sinCsinA﹣ sinA=0,
∵A∈(0,π),
∴sinA≠0,
∴sinC= ,
又a<b<c,
∴C為鈍角.
∴cosC=
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab,與c﹣a=8,2b=a+c.
聯(lián)立解得a=6,b=10,c=14.
∴S△ABC= absinC= =15
【解析】(1)利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、余弦定理即可證明.(2)由2csinA﹣ a=0,利用正弦定理可得2sinCsinA﹣ sinA=0,化為sinC= ,又a<b<c,可得C為鈍角.cosC= ,利用余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab,與c﹣a=8,2b=a+c聯(lián)立解出即可得出.
【考點(diǎn)精析】掌握正弦定理的定義和余弦定理的定義是解答本題的根本,需要知道正弦定理:;余弦定理:;;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名同學(xué)的投籃命中次數(shù),乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無(wú)法確認(rèn),在圖中用表示.
(1)若乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比甲組同學(xué)的平均數(shù)少1,求及乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的方差;
(2)在(1)的條件下,分別從甲、乙兩組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)中,各隨機(jī)選取一名,求這兩名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為16的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a、b、c,已知向量 =(cosA,cosB), =(a,2c﹣b),且 ∥ .
(1)求角A的大小;
(2)若a=4,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校共有學(xué)生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí)).
(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?
(2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率.
(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)復(fù)數(shù).
(1)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,求m的取值范圍;
(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x-y-1=0上,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形.點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.
(Ⅰ)求證:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求證:AF⊥平面PCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ax2+bx,(a,b∈R).
(1)設(shè)a=1,f(x)在x=1處的切線過(guò)點(diǎn)(2,6),求b的值;
(2)設(shè)b=a2+2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值;
(3)定義:一般的,設(shè)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使g(x0)=x0成立,則稱x0為函數(shù)g(x)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)a>0,試問(wèn)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)時(shí),這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)能否同時(shí)也是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD= ,PA⊥PD,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O為AD中點(diǎn).
(1) 求直線PB與平面POC所成角的余弦值;
(2)線段上是否存在一點(diǎn),使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)求證:不等式Sn+1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立.
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