Question

已知函數f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若b、c滿足c≥

b2

4

+1，且f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，則M的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：依題意知，c≥|b|，當c＞|b|時，有M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

=

c+2b

b+c

，令t=

b

c

，

c+2b

b+c

=2-

1

1+t

，構造函數g（t）=2-

1

1+t

（-1＜t＜1），易求其值域，從而可得M的取值集合；
當c=|b|時，可證f（c）-f（b）≤

3

2

（c²-b²）恒成立，從而可得答案．

解答： 解：∵c≥

b2

4

+1≥2×

|b|

2

×1知，c≥|b|，
當c＞|b|時，有M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

=

c2-b2+bc-b2

c2-b2

=

c+2b

b+c

，
令t=

b

c

，則-1＜t＜1，

c+2b

b+c

=2-

1

1+t

，
∵函數g（t）=2-

1

1+t

（-1＜t＜1）為增函數，
∴該函數的值域是（-∞，

3

2

）；
∴當c＞|b|時，M的取值集合為[

3

2

，+∞）；
當c=|b|時，由c≥

b2

4

+1知，b=±2，c=2，此時f（c）-f（b）=-8或0，
c²-b²=0，從而f（c）-f（b）≤

3

2

（c²-b²）恒成立；
綜上所述，M的最小值為

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查函數恒成立問題，著重考查分類討論思想與等價轉化思想、構造函數思想，考查創(chuàng)新思維與綜合分析、運算能力，屬于難題．