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設函數f(x)=(x+1)ln(x+1),若對所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實數a的取值范圍.

(-∞,1]


解析:

g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,對函數g(x)求導數:g′(x)=ln(x+1)+1-a

g′(x)=0,解得xea-1-1,

(1)當a≤1時,對所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函數,

g(0)=0,所以對x≥0,都有g(x)≥g(0),

即當a≤1時,對于所有x≥0,都有 f(x)≥ax

(2)當a>1時,對于0<xea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是減函數,

g(0)=0,所以對0<xea-1-1,都有g(x)<g(0),

即當a>1時,不是對所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.

綜上,a的取值范圍是(-∞,1].

練習冊系列答案
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④方程f(x)=0至多有兩個實根.

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①當b>0時,函數f(x)在R上是單調增函數;

②當b<0時,函數f(x)在R上有最小值;

③函數f(x)的圖象關于(0,c)對稱;

④方程f(x)=0可能有三個實數根.

[  ]

A.①③

B.①④

C.①②④

D.①③④

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(1)求g(x)的二次項系數k的值;

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