Question

12．已知函數$f（x）=\frac{a}{2}{x^2}+2x-lnx（a≥0）$．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x+3y=0垂直，求實數a的值；
（2）求證：函數f（x）的最小值大于$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=ax+2-\frac{1}{x}$，由題意結合導數的幾何意義得f′（x）=a+1=3，由此能求出a．
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），${f}^{'}（x）=ax+2-\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，由此得用導數性質求出a=0時，f（x）的最小值為f（$\frac{1}{2}$）＞$\frac{3}{2}$，a＞0時，f（x）的最小值為$\frac{1}{2}+{x}_{0}-ln{x}_{0}$，構造函數$g（x）=\frac{1}{2}+x-lnx，x∈（0，1）$，則g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＜0，由此利用導數性質能證明函數f（x）的最小值大于$\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）∵函數$f（x）=\frac{a}{2}{x^2}+2x-lnx（a≥0）$，
∴${f}^{'}（x）=ax+2-\frac{1}{x}$，
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x+3y=0垂直，
∴f′（x）=a+1=3，解得a=2．
證明：（2）函數$f（x）=\frac{a}{2}{x^2}+2x-lnx（a≥0）$的定義域為（0，+∞），
${f}^{'}（x）=ax+2-\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，
①a=0，當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
當x∈（$\frac{1}{2}，+∞$）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
∴函數f（x）的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a}{8}+1-ln\frac{1}{2}$=1+ln2＞1+ln$\sqrt{e}$=$\frac{3}{2}$．
②a＞0，令f′（x）=0，則${x}_{0}=\frac{\sqrt{a+1}-1}{a}$∈（0，1），且滿足$a{{x}_{0}}^{2}$+2x₀-1=0，
當x∈（0，x₀）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
當x∈（x₀，+∞）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
∴f（x）的最小值為：
$f（{x}_{0}）=\frac{a}{2}{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}-ln{x}_{0}$=$\frac{1-2{x}_{0}}{2}+2{x}_{0}-ln{x}_{0}=\frac{1}{2}+{x}_{0}-ln{x}_{0}$，
構造函數$g（x）=\frac{1}{2}+x-lnx，x∈（0，1）$，則g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＜0，
∴g（x）在（0，1）上單調遞減，∴g（x）=g（1）=$\frac{3}{2}$，
此時，函數f（x）的最小值為$f（{x}_{0}）=\frac{1}{2}+{x}_{0}-ln{x}_{0}$＞$\frac{3}{2}$，
綜上所述，函數f（x）的最小值大于$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查實數值的求法，考查函數的最小值大于$\frac{3}{2}$的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數的性質、導數的幾何意義的合理運用．