Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，半徑為b的圓與直線y=x+$\sqrt{6}$相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知橢圓C的上頂點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)B且互相垂直的動(dòng)直線l₁，l₂與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q，設(shè)直線PQ與y軸相交于點(diǎn)M，若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以原點(diǎn)為圓心，半徑為b的圓與直線y=x+$\sqrt{6}$相切．可得$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=b，解得b．又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，c²=a²+b²，聯(lián)立解得a，c．即可得出．
（2）B$（0，\sqrt{3}）$，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．設(shè)直線l₁的方程為：y=kx+$\sqrt{3}$，（不妨設(shè)k＞0），則直線l₂的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$．分別與橢圓方程聯(lián)立解得x₁，x₂．利用$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，即可得出．

解答 解：（1）∵以原點(diǎn)為圓心，半徑為b的圓與直線y=x+$\sqrt{6}$相切．∴$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=b，∴b=$\sqrt{3}$．
又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，c²=a²+b²，聯(lián)立解得a=2，c=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）B$（0，\sqrt{3}）$，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
設(shè)直線l₁的方程為：y=kx+$\sqrt{3}$，（不妨設(shè)k＞0），
則直線l₂的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+8$\sqrt{3}$kx=0，
解得x₁=$\frac{-8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，
同理可得：x₂=$\frac{8\sqrt{3}k}{4+3{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，∴-$\frac{-8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$=λ×$\frac{8\sqrt{3}k}{4+3{k}^{2}}$．
∴λ=$\frac{4+3{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{4（3+4{k}^{2}）}$∈$（\frac{3}{4}，\frac{4}{3}）$．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$（\frac{3}{4}，\frac{4}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓相交問(wèn)題、直線與圓相切性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．