Question

已知函數(shù)和函數(shù)，記．

（1）當(dāng)時(shí)，若在上的最大值是，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷在其定義域內(nèi)是否有極值，并予以證明；

（3）對(duì)任意的，若在其定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）時(shí)，．

①當(dāng)時(shí)，，不合題意；

       ②當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，而，故不合題意；

       ③當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增， 在上的最大值是，所以，即，所以．

       綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

       （2）時(shí)，定義域?yàn)?sub>，．

       ①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，從而在其定義域內(nèi)沒(méi)有極值；

       ②當(dāng)時(shí)，，令有，但是時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，也單調(diào)遞增，所以在其定義域內(nèi)也沒(méi)有極值．

       綜上，在其定義域內(nèi)沒(méi)有極值．

       （3）據(jù)題意可知，令，即方程 在上恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．即恒成立，因?yàn)?sub>，，所以．