已知數(shù)列{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，對于一切n∈N*均有an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.

（1）計算a1,a2,a3,并由此猜想{an}的通項公式an；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的猜想.

思路分析：通過計算a1,a2,a3,探索an與n的關(guān)系，猜想an的通項，并運用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（1）解：由得Sn=可求得a1=2，a2=6,a3=10,

由此猜想{an}的通項公式an=4n-2(n∈N+).

（2）證明：(Ⅰ)當(dāng)n=1時，a1=2，等式成立；

(Ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即ak=4k-2,

∴ak+1=Sk+1-Sk=,

∴(ak+1+ak)(ak+1-ak-4)=0.

又ak+1+ak≠0,

∴ak+1-a4-4=0,

∴ak+1=ak+4=4k-2+4=4(k+1)-2,

∴當(dāng)n=k+1時,等式也成立.

由(Ⅰ)(Ⅱ)可得an=4n-2(n∈N+)成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是正項等差數(shù)列，給出下列判斷：
①a2+a8=a4+a6；②a4•a6≥a2•a8；③a52≤a4•a6；④a2+a8≥2
a4•a6
．其中有可能正確的是（　�。�
A、①④B、①②④
C、①③D、①②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，公比q≠1，若lga2是lga1和1+lga4的等差中項，且a1a2a3=1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式
（2）設(shè)cn=
1n(3-lgan)
(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，若a1=32，a4=4，則數(shù)列{log2an}的前n項和Sn的最大值為
15
15
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•南寧模擬）已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，若a2=2，2a3+a4=16則數(shù)列{an}的通項公式為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•桂林模擬）已知數(shù)列{an}是正項數(shù)列，其首項a1=3，前n項和為Sn，4Sn=
a
2
n
+2an+4(n≥2)．
（1）求數(shù)列{an}的第二項a2及通項公式；
（2）設(shè)bn=
1
Sn
，記數(shù)列{bn}的前n項和為Kn，求證：Kn＜
17
21
．

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