Question

設(shè)f（x）=|x-2|+|x-3|，若不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

對任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，則x取值集合是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得，f（x）=|x-2|+|x-3|的最小值大于或等于

|a+1|-|2a-1|

|a|

，而由絕對值三角不等式求得|x-2|+|x-3|的最小值為1，可得1≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

，即|a||+|2a-1|≥|a+1|．分類討論，去掉絕對值，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：由題意可得，f（x）=|x-2|+|x-3|的最小值大于或等于

|a+1|-|2a-1|

|a|

，
而由|x-2|+|x-3|≥|（x-2）-（x-3）|=1，可得1≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

，即|a|+|2a-1|≥|a+1|．
由此可得 ①

a＜-1 -a+1-2a≥-a-1

，或②

-1≤a＜0 -a+1-2a≥a+1

或，③

0≤a＜ 1 2 a+1-2a≥a+1

，或④

a≥ 1 2 a+2a-1≥a+1

．
解①求得a＜-1，解②求得-1≤a＜0，解③求得a=0，解④求得a≥1，
綜上可得，a的范圍是（-∞，0]∪[1，+∞），
故答案為：（-∞，0]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．