Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-4x-4在閉區(qū)間[t，t+2]（t∈R）上的最大值記為g（t），求g（t）的表達(dá)式，并求出g（t）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先不二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，進(jìn)一步求出對(duì)稱(chēng)軸方程，根據(jù)軸固定和區(qū)間不固定進(jìn)行分類(lèi)討論，然后確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出最大值和最小值．

解答： 解：（1）二次函數(shù)f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8
二次函數(shù)的開(kāi)口方向向上，對(duì)稱(chēng)軸方程：x=2
①當(dāng)t=1時(shí)，x∈[t，t+2]距離對(duì)稱(chēng)軸的距離相等，所以f(x)max=f(t)=t2-4t-4
②當(dāng)0＜t＜1時(shí)，x=t+2距離對(duì)稱(chēng)軸的距離比x=t的距離遠(yuǎn)，所以f(x)max=f(t+2)=t2-8
③當(dāng)1＜t＜2時(shí)，x=t離對(duì)稱(chēng)軸的距離必x=t+2的距離遠(yuǎn)，所以f(x)max=f(t)=t2-4t-4
④當(dāng)t＜0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以f(x)max=f(t)=t2-4t-4
⑤當(dāng)t＞2時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(x)max=f(t+2)=t2-8
（2）①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，f（x）_min=-8
②當(dāng)t＜0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以f(x)min=f(t+2)=t2-8
③當(dāng)t＞2時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(x)min=f(t)=t2-4t-4
故答案為：①當(dāng)t=1時(shí)，f(x)max=f(t)=t2-4t-4
②當(dāng)0＜t＜1時(shí)，f(x)max=f(t+2)=t2-8
③當(dāng)1＜t＜2時(shí)，f(x)max=f(t)=t2-4t-4
④當(dāng)t＜0時(shí)，f(x)max=f(t)=t2-4t-4
⑤當(dāng)t＞2時(shí)，f(x)max=f(t+2)=t2-8
（2）①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，f（x）_min=-8
②當(dāng)t＜0時(shí)，f(x)min=f(t+2)=t2-8
③當(dāng)t＞2時(shí)，f(x)min=f(t)=t2-4t-4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)換，對(duì)稱(chēng)軸方程，二次函數(shù)軸固定與區(qū)間不固定之間的討論，求二次函數(shù)的最值．