【題目】我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就，在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項，依次構成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的前15項和為（ ）

A. 110B. 114C. 124D. 125

【答案】B

【解析】

利用二項式系數(shù)對應的楊輝上三角形的第行，令，得到二項展開式的二項式系數(shù)的和，再結合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.

由題意，次二項式系數(shù)對應的楊輝三角形的第行，

令，可得二項展開式的二項式系數(shù)的和，

其中第1行為，第2行為，第3行為， 以此類推，

即每一行的數(shù)字之和構成首項為1，公比為2的對邊數(shù)列，

則楊輝三角形中前行的數(shù)字之和為，

若除去所有為1的項，則剩下的每一行的數(shù)字的個數(shù)為

可以看成構成一個首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，

令，解得，

所以前15項的和表示前7行的數(shù)列之和，減去所有的1，即，

即前15項的數(shù)字之和為114，故選B.

練習冊系列答案
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A.[1，4）B.（1，4）C.（）D.[]

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等級

標準果

優(yōu)質(zhì)果

精品果

禮品果

個數(shù)

10

30

40

20

（1）若將頻率是為概率，從這個水果中有放回地隨機抽取個，求恰好有個水果是禮品果的概率.（結果用分數(shù)表示）

（2）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考.

方案：不分類賣出，單價為元.

方案：分類賣出，分類后的水果售價如下：

等級

標準果

優(yōu)質(zhì)果

精品果

禮品果

售價(元/kg）

16

18

22

24

從采購單的角度考慮，應該采用哪種方案？

（3）用分層抽樣的方法從這個水果中抽取個，再從抽取的個水果中隨機抽取個，表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學期望.

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方案乙：先任取個同學，將它們的血液混在一起化驗，若結果呈陽性則表明感染同學為這位中的位，后再逐個化驗，直到能確定感染同學為止；若結果呈陰性則在另外位同學中逐個檢測；

（1）求依方案甲所需化驗次數(shù)等于方案乙所需化驗次數(shù)的概率；

（2）表示依方案甲所需化驗次數(shù)，表示依方案乙所需化驗次數(shù)，假設每次化驗的費用都相同，請從經(jīng)濟角度考慮那種化驗方案最佳．

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