Question

已知(

3

x2

+3x2)n展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和大992．
（Ⅰ）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；    （Ⅱ）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：令x=1可得，展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為4ⁿ，而展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ，從而可求n得值，及通項(xiàng)
（Ⅰ）由上可得，n=5時(shí)，展開(kāi)式有6項(xiàng)，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3，4項(xiàng)，代入通項(xiàng)可求
（Ⅱ）假設(shè)第k+1項(xiàng)最大，則

3k C k 5 ≥3k-1 C k-1 5 3k C k 5 ≥3k+1 C k+1 5

解出k得范圍，結(jié)合k∈N^*可求

解答：解：由題意在(

3	x2

+3x2)n中，令x=1可得，展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為（1+3×1）ⁿ=4ⁿ
又∵展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ
∴4ⁿ-2ⁿ=992
∴n=5，Tr+1=

C

r 5

(x

2

3

)5-r(3x2)r=3r

C

r 5

x

10+4r

3

，…（3分）
（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，展開(kāi)式有6項(xiàng)，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3，4項(xiàng)，
T3=32

C

2 5

x

18

3

=90x6，
T4=33

C

3 5

x

22

3

=270x

22

3

；…（6分）
（Ⅱ）假設(shè)第k+1項(xiàng)最大，則

3k C k 5 ≥3k-1 C k-1 5 3k C k 5 ≥3k+1 C k+1 5

解得3.5≤k≤4.5，
∵k∈N^*
∴k=4，
∴T5=34

C

4 5

x

26

3

=405x

26

3

為所求的系數(shù)最大的項(xiàng)．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用賦值法求解二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和及展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的綜合應(yīng)用．