(1)函數(shù)f(x)是否存在單調(diào)遞減區(qū)間?若存在,則求出單調(diào)遞減區(qū)間(用a表示).
(2)若x=1不是函數(shù)f(x)的極值點,求證:函數(shù)f(x)的圖像關于點M對稱.
(1)解:f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b,
由題意,知m=2,f(1)=1+a+b+c=2,f′(1)=3+2a+b=0,
即b=-2a-3,c=a+4.
f′(x)=3x2+2ax-(2a+3)=3(x-1)(x+1+).
①當a=-3時,f′(x)=3(x-1)2≥0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)增加,
不存在單調(diào)減區(qū)間;
②當a>-3時,-1<1,有
x | (-∞,-1) | (-1,1) | (1,+∞) |
f′(x) | + | - | + |
f(x) | ↑ | ↓ | ↑ |
∴當a>-3時,函數(shù)f(x)存在單調(diào)減區(qū)間,為[-1,1];
③當a<-3時,-1>1,有
x | (-∞,1) | (1,-1) | (-1,+∞) |
F′(x) | + | - | + |
f(x) | ↑ | ↓ | ↑ |
∴當a<-3時,函數(shù)f(x)存在單調(diào)減區(qū)間,為[1,-1].
(2)證明:由(1)知:若x=1不是函數(shù)f(x)的極值點,則a=-3,
b=3,c=1,f(x)=x3-3x2+3x+1=(x-1)3+2.
設點P(x0,y0)是函數(shù)f(x)的圖像上任意一點,則y0=f(x0)=(x0-1)3+2,
點P(x0,y0)關于點M(1,2)的對稱點為Q(2-x0,4-y0).
∵f(2-x0)=(2-x0-1)3+2=-(x0-1)3+2=2-y0+2=4-y0,∵f(2-x0)=(2-x0)3-3(2-x0)2+3(2-x0)+1
(或=8-12x0+6x02-x03-12+12x0-3x02+6-3x0+1)=-x03+3x02-3x0+3=4-(x03-3x02+3x0+1)=4-y0,
∴點Q(2-x0,4-y0)在函數(shù)f(x)的圖像上.由點P的任意性知函數(shù)f(x)的圖像關于點M對稱.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
x |
a |
b |
x |
4c2 |
k(k+c) |
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科目:高中數(shù)學 來源:浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型:022
已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.
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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題
x |
a |
b |
x |
4c2 |
k(k+c) |
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科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題
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