Question

已知橢圓

x2

2a2

+

y2

2b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1有相同的焦點，則橢圓的離心率為（　�。�

• A．

  2

  2

• B．

  1

  2

• C．

  6

  6

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點，結合它們的方程得出關于a，b的等式，找到a=

3

b，再根據(jù)這個關系得到橢圓的長半軸m=

2

a=

6

b，而短半軸n=

2

b，從而得到c用b表示的關系式，用離心率的公式可得到此橢圓的離心率．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

2a2

+

y2

2b2

=1（a＞b＞0）
∴橢圓焦點坐標為F（±c，0）
其中c滿足：c²=2a²-2b²…①
又∵雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1且與已知橢圓有相同的焦點
∴雙曲線焦點坐標也為F（±c，0），
滿足c²=a²+b²…②．
對照①②，得2a²-2b²=a²+b²，
∴a²=3b²⇒a=

3

b，
可得橢圓的長半軸m=

2

a=

6

b
短半軸n=

2

b
∴半焦距c=

m2-n2

=2b
離心率e=

c

m

=

2b

6 b

=

6

3

，
即則橢圓的離心率為

6

3

．
故選D．

點評：本小題考查雙曲線與橢圓的關系，考查圓錐曲線的基本元素之間的關系問題，同時雙曲線、橢圓的相應知識也進行了綜合性考查．