Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ex
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）對于函數(shù)h（x）=x²與g（x）=elnx，是否存在公共切線y=kx+b（常數(shù)k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函數(shù)h（x），g（x）各自定義域上恒成立？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f′（x）=e^x-e=0，∴x=1．∴f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．∴f（x）的最小值為0

（Ⅱ）設(shè) ，∴
∴當(dāng) 時，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減；當(dāng) 時，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增．
∴是函數(shù)F（x）的極小值點，也是最小值點，∴，∴函數(shù)f（x）與h（x）的圖象在 處有公共點 （9分）
設(shè)f（x）與h（x）存在公共切線且方程為：，令函數(shù) ，
�。┯�在x∈R恒成立，即在R上恒成立，
∴成立，
∴，故 ．（11分）
ⅱ）下面再證明：恒成立
設(shè) ，則 ．
∴當(dāng)時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增；當(dāng) 時，φ′（x）＜0．函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減．∴時φ（x）取得最大值0，則 （x＞0）成立．（13分）
綜上�。┖廷ⅲ┲�：且 ，
故函數(shù)f（x）與h（x）存在公共切線為，此時 ．（14分）
分析：（Ⅰ）要求函數(shù)的最小值，需要求出導(dǎo)函數(shù)并令其等于零得到x=1，然后分區(qū)間x＜1和x＞1，討論函數(shù)的增減性來判斷函數(shù)的極值，得到函數(shù)的最小值即可．
（Ⅱ）設(shè) ，原問題轉(zhuǎn)化為研究此函數(shù)的單調(diào)性問題，利用導(dǎo)數(shù)知識解決．
點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算，研究函數(shù)的最值問題．考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識．