Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+2+lnx（a＞0）
（1）若f（x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值集合；
（2）當(dāng)a=$\frac{3}{8}$時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[eⁿ，+∞]（n∈Z）有零點(diǎn)，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）分離參數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，利用極值與x軸之間的關(guān)系，確定n的最大值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
若f（x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)，
則a≥$\frac{2x-1}{{2x}^{2}}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{2x-1}{{2x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{-4x（x-1）}{{2x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$
故a∈[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（2）由（1）知y_極大=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{5}{6}$+ln$\frac{2}{3}$＞0，
y_極小=f（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，
當(dāng)x＞0且x→0時(shí)f（x）＜0，故f（x）在定義域上存在唯一零點(diǎn)x₀，且x₀∈（0，$\frac{2}{3}$），
若n≥0，則eⁿ≥1，[eⁿ，+∞）?（$\frac{2}{3}$，+∞），此區(qū)間不存在零點(diǎn)，舍去．
若n＜0，當(dāng)n=-1時(shí)，x∈[$\frac{1}{e}$，+∞），f（$\frac{1}{e}$）=1+$\frac{3}{{8e}^{2}}$-$\frac{2}{e}$＞0，
又（$\frac{1}{e}$，$\frac{2}{3}$）為增區(qū)間，此區(qū)間不存在零點(diǎn)，舍去．
當(dāng)n=-2時(shí)，x∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞），f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$（$\frac{3}{{8e}^{2}}$-2）＜0，
又在區(qū)間（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{2}{3}$），y=f（$\frac{2}{3}$）＞0，此時(shí)x₀∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{2}{3}$），
綜上n_max=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及利用根的存在性定義判斷函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．