Question

19．函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{3}）（ω＞0）$在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形．
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（2）若$f（{x_0}）=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，且${x_0}∈（-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}）$，求f（x₀+1）的值；
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$倍，橫坐標(biāo)不變，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的ω倍，縱坐標(biāo)不變，最后將所得圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程2[g（x）]²-4ag（x）+1-a=0在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由周期公式可求ω，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求值域．
（2）由已知及（1）可求sin （ $\frac{π{x}_{0}}{4}$+$\frac{π}{3}$），結(jié)合范圍x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），得 $\frac{π{x}_{0}}{4}$+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），可求cos （ $\frac{π{x}_{0}}{4}$+$\frac{π}{3}$），故f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin （ $\frac{π{x}_{0}}{4}$+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$sin[（$\frac{π{x}_{0}}{4}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可求值．
（3）根據(jù)函數(shù)變換規(guī)律得到新的函數(shù)解析式為：g（x）=sinx，x∈[0，π]，令t=g（x），t∈[0，1]，則2t²-4at+1-a=0．若要使得關(guān)于x的方程在[0，π]上有兩個(gè)不同的根，則關(guān)于t 的方程在t∈[0，1）上只有唯一解，據(jù)此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由于正三角形ABC的高為2$\sqrt{3}$，則BC=4，
所以，函數(shù)$f（x）的周期T=4×2=8，即\frac{2π}{ω}=8，得ω=\frac{π}{4}$，
所以，函數(shù)$f（x）的值域?yàn)閇-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．
（2）因?yàn)?f（{x_0}）=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}，由$（1）有$f（{x_0}）=2\sqrt{3}sin（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，$即sin（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）=\frac{4}{5}$，
由${x_0}∈（-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}），知\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，
所以$cos（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）=\sqrt{1-{{（\frac{4}{5}）}^2}}=\frac{3}{5}$．
故f（x₀+1）=$2\sqrt{3}sin（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{4}+\frac{π}{3}）$=$2\sqrt{3}sin[（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）+\frac{π}{4}]$
$\begin{array}{l}=2\sqrt{3}[sin（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）cos\frac{π}{4}+cos（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）sin\frac{π}{4}]\\=2\sqrt{3}（\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}）\end{array}$
=$\frac{{7\sqrt{6}}}{5}$．
（3）由題可知g（x）=sinx，x∈[0，π]，令t=g（x），t∈[0，1]，
則2t²-4at+1-a=0．
若要使得關(guān)于x的方程在[0，π]上有兩個(gè)不同的根，則關(guān)于t 的方程在t∈[0，1）上只有唯一解，所以有以下幾種情況
?①f（0）•f（1）＜0，
解得$\frac{3}{5}$＜a＜1；
②△=0，
解得a=$\frac{1}{2}$或a=-1．
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$t=\frac{1}{2}$，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)a=-1時(shí)，t=-1，不符合題意，舍去a=-1．
?當(dāng)t=0時(shí)，解得a=1，此時(shí)另一個(gè)根t=2不在[0，1）上，所以a=1符合題意．
綜上所述a的取值范圍是$\left\{{a|\frac{3}{5}}\right.＜a≤1或a=\frac{1}{2}\left.{\;}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．