Question

（2012•朝陽區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=（ax²-1）•e^x，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極值，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值為0，列出方程，求出a，
（II）求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g（x）=ax²+2ax-1，對a的值進(jìn)行分類討論結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)研究f′（x）；最后令f′（x）＞0求出遞增區(qū)間，令f′（x）＜0求出遞減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（ax²+2ax-1）•e^x．x∈R…（2分）
依題意得f'（1）=（3a-1）•e=0，解得a=

1

3

．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=（ax²+2ax-1）•e^x，設(shè)g（x）=ax²+2ax-1，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-e^x，f（x）在（-∞，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)．…（5分）
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，方程g（x）=ax²+2ax-1=0的判別式為△=4a²+4a，
令△=0，解得a=0（舍去）或a=-1．
1°當(dāng)a=-1時(shí)，g（x）=-x²-2x-1=-（x+1）²≤0，
即f'（x）=（ax²+2ax-1）•e^x≤0，
且f'（x）在x=-1兩側(cè)同號，僅在x=-1時(shí)等于0，
則f（x）在（-∞，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)．…（7分）
2°當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，△＜0，則g（x）=ax²+2ax-1＜0恒成立，
即f'（x）＜0恒成立，則f（x）在（-∞，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)．…（9分）
3°a＜-1時(shí)，△=4a²+4a＞0，令g（x）=0，
方程ax²+2ax-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1=-1+

a2+a

a

，x2=-1-

a2+a

a

，
作差可知-1-

a2+a

a

＞-1+

a2+a

a

，
則當(dāng)x＜-1+

a2+a

a

時(shí)，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在(-∞，-1+

a2+a

a

)上為單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)-1+

a2+a

a

＜x＜-1-

a2+a

a

時(shí)，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）在(-1+

a2+a

a

，-1-

a2+a

a

)上為單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)x＞-1-

a2+a

a

時(shí)，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在(-1-

a2+a

a

，+∞)上為單調(diào)減函數(shù)．…（13分）
綜上所述，當(dāng)-1≤a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，+∞）；當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，-1+

a2+a

a

)，(-1-

a2+a

a

，+∞)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-1+

a2+a

a

，-1-

a2+a

a

)．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性、考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．