Question

3．某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表所示．

一次購物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顧客數(shù)（人）	x	30	25	y	10
結(jié)算時(shí)間（分鐘/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%．
（1）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過3 鐘的概率．（注：將頻率視為概率）

Answer 1

分析 （1）由已知，得25+y+10=55，x+y=35，從而x=15，y=20．收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量隨機(jī)樣本，將頻率視為概率，能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過3鐘”，X_i（i=1，2）為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間，由于顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，能求出該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過3 鐘的概率．

解答 解：（1）由已知，得25+y+10=55，x+y=35，
所以x=15，y=20．
該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，
所以收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量隨機(jī)樣本，
將頻率視為概率得$p（X=1）=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}，p（X=1.5）=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}，p（X=2）=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$，
$p（X=2.5）=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}，p（X=3）=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$．
故X的分布為：

X	1	1.5	2	2.5	3
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

X的數(shù)學(xué)期望為$E（X）=1×\frac{3}{20}+1.5×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{4}+2.5×\frac{1}{5}+3×\frac{1}{10}=1.9$．
（2）記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過3鐘”，
X_i（i=1，2）為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間，
則由于顧客的結(jié)算相互獨(dú)立得
P（A）=P（X₁=1）×P（X₂=1）+P（X₁=1）×P（X₂=1.5）+P（X₁=1.5）×P（X₂=1）+P（X₁=1）×P（X₂=2）+P（X₁=2）×P（X₂=1）+P（X₁=1.5）×P（X₂=1.5）
=$\frac{3}{20}×\frac{3}{20}+\frac{3}{20}×\frac{3}{10}+\frac{3}{10}×\frac{3}{20}+\frac{1}{4}×\frac{3}{20}+\frac{3}{20}×\frac{1}{4}+\frac{3}{10}×\frac{3}{10}=\frac{111}{400}$．
故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過3 鐘的概率為$\frac{111}{400}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，涉及到平均數(shù)、方差、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．