Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+mln（x+1）
（1）曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求證：；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性即可證明；
（3）利用y=sinx在[0，1]上單調(diào)遞增、在[0，1]上單調(diào)遞減及定積分的意義即可得出．
解答：解：（1）由f（x）=x³+mln（x+1），得
由于曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=0，解得m=-6．
（2）∵
等價于
等價于
令m=1，f（x）=x³+ln（x+1）
設(shè)h（x）=x²-f（x）=x²-ln（1+x）-x³
則h'（x）==
當(dāng)x∈（0，+∞）時，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又∵h(yuǎn)（0）=0，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＜h（0）=0，即x²-ln（x+1）＜x³恒成立．
∵k∈N*，∴取，則有＜，
∴＜，
即 ．
（3）∵y=sinx在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴=＜=n（-cosx）=n（1-cos1）．
又在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴==＜dx=nln（1+x）=nln2．
∴．
點(diǎn)評：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義、通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性證明不等式、利用y=sinx在[0，1]上單調(diào)遞增、在[0，1]上單調(diào)遞減及定積分的意義是解題的關(guān)鍵．