Question

【題目】已知數(shù)列滿足，，其中是數(shù)列的前n項和.

（1）求和的值及數(shù)列的通項公式；

（2）設.

①若，求k的值；

②求證：數(shù)列（中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①1，②見解析

【解析】

（1）利用遞推關系式求出數(shù)列的前幾項，同時求出數(shù)列的通項公式；（2）結合第一問的結論求出，①直接代入即可求解；②對于給定的，若存在，，，，使得，只要找到相應的整數(shù)，即可證明．

（1）時，，所以，

時，，所以，所以.

由，①

所以，②

由②①得，

即，③

當時，，④

由③④得，

即，

所以數(shù)列是首項為0，公差為2的等差數(shù)列，

故數(shù)列的通項公式是.

（2）；

；

①；

．

②對于給定的，若存在，，，，使得；

，只需，

兩邊取倒數(shù)，即，即；

即，；取，則；

；

對數(shù)列中的任意一項，總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積．