【題目】設函數(shù)g(x)=x2﹣2x+1+mlnx,(m∈R).
(1)當m=1時,求函數(shù)y=g(x)在點(1,0)處的切線方程;
(2)當m=﹣12時,求f(x)的極小值;
(3)若函數(shù)y=g(x)在x∈( ,+∞)上的兩個不同的數(shù)a,b(a<b)處取得極值,記{x}表示大于x的最小整數(shù),求{g(a)}﹣{g(b)}的值(ln2≈0.6931,ln3≈1.0986).
【答案】
(1)解:函數(shù)y=g(x)=x2﹣2x+1+mlnx,g′(x)=2x﹣2+ ,k=g′(1)=1,
則切線方程為y=x﹣1,
故所求切線方程為x﹣y﹣1=0
(2)解:m=﹣12時,g(x)=)=x2﹣2x+1﹣12lnx,(x>0),
g′(x)=2x﹣2﹣ = ,
令g′(x)>0,解得:x>3,令g′(x)<0,解得:0<x<3,
故g(x)在(0,3)遞減,在(3,+∞)遞增,
故g(x)極小值=g(3)=4﹣12ln3
(3)解:函數(shù)y=g(x)的定義域為(0,+∞),
g′(x)=2x﹣2+ = ,
令g′(x)=0并結合定義域得2x2﹣2x+m>0.
①當△≤0,即m≥ 時,g′(x)≥0,則函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0,+∞);
②當△>0且m>0,即0<m< 時,函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0, ),( ,+∞);
③當△>0且m≤0,即m≤0時,函數(shù)g(x)的增區(qū)間為( ,+∞);
故得0<m< 時,a,b為方程2x2﹣2x+m=0的兩相異正根, <b< , <a< ,
又由2b2﹣2b+m=0,得m=﹣2b2+2b,
∴g(b)=b2﹣2b+1+mlnb=b2﹣2b+1+(﹣2b2+2b)lnb,b∈( , ),
g′(b)=2b﹣2+(﹣4b+2)lnb+2﹣2b=﹣4(b﹣ )lnb,
當b∈( , )時,g′(b)>0,即函數(shù)g(b)是( , )上的增函數(shù).
故g(b)的取值范圍是( , ),則{g(b)}=0.
同理可求得g(a)的取值范圍是( , ),則{g(a)}=0或{g(a)}=1.
∴{g(a)}﹣{g(b)}=0或1
【解析】(1)把m=1代入函數(shù)解析式,求得導函數(shù),得到切線的斜率,則切線方程可求;(2)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出函數(shù)的極小值即可;(3)根據(jù)函數(shù)的單調性得到函數(shù)y=g(x)在x∈( ,+∞)上有兩個極值點的m的范圍,由a,b為方程2x2﹣2x+m=0的兩相異正根,及根與系數(shù)關系,得到a,b的范圍,把m用a(或b)表示,得到g(a)(或g(b)),求導得到g(b)的取值范圍,進一步求得{g(a)}(或{g(b)}),則答案可求.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線: ax+by=1(其中a,b是實數(shù)) 與圓:x2+y2=1(O是坐標原點)相交于A,B兩點,且△AOB是直角三角形,點P(a,b)是以點M(0,1)為圓心的圓M上的任意一點,則圓M的面積最小值為 .
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【題目】如圖,過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的直線l交拋物線于點A、B,交其準線于點C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為( )
A.y2=3x
B.y2=9x
C.y2= x
D.y2= x
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)的對稱軸x=﹣2,f(x)的圖象被x軸截得的弦長為2 ,且滿足f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(( )x)>k,對x∈[﹣1,1]恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】經市場調查,某城市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量(件)與價格(元)均為時間t(天)的函數(shù),且銷售量近似滿足g(t)=80﹣2t(件),價格近似滿足于 (元).
(Ⅰ)試寫出該種商品的日銷售額y與時間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達式;
(Ⅱ)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.
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【題目】已知圓O:x2+y2=4與x軸負半軸的交點為A,點P在直線l: x+y﹣a=0上,過點P作圓O的切線,切點為T.
(1)若a=8,切點T( ,﹣1),求直線AP的方程;
(2)若PA=2PT,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0).
(1)若f(x)在區(qū)間[1,2]為單調增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為g(a),求g(a)的表達式;
(3)設函數(shù) ,若對任意x1 , x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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