Question

已知向量，，且，f（x）=•-2λ||（λ為常數(shù)），
求：（1）•及||；
（2）若f（x）的最小值是，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩個(gè)向量的數(shù)量積，寫(xiě)出數(shù)量積的表示式，利用三角函數(shù)變換，把數(shù)量積整理成最簡(jiǎn)形式，再求兩個(gè)向量和的模長(zhǎng)，根據(jù)角的范圍，寫(xiě)出兩個(gè)向量的模長(zhǎng)．
（2）根據(jù)第一問(wèn)做出的結(jié)果，寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式，式子中帶有字母系數(shù)λ，把式子整理成關(guān)于cosx的二次函數(shù)形式，結(jié)合λ的取值范圍，寫(xiě)出函數(shù)式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合題意的舍去．
解答：解：（1），，
∵，
∴cosx≥0，
∴．

（2）f（x）=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
∵，
∴0≤cosx≤1，
①當(dāng)λ＜0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時(shí)，f（x）取得最小值-1，這與已知矛盾；
②當(dāng)0≤λ≤1，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=λ時(shí)，f（x）取得最小值-1-2λ²，
由已知得，解得；
③當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）取得最小值1-4λ，
由已知得，解得，這與λ＞1相矛盾、
綜上所述，為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)，考查三角函數(shù)變換，考查二次函數(shù)的最值，考查分類(lèi)討論思想，是一個(gè)綜合題，題目涉及的內(nèi)容比較多，易錯(cuò)點(diǎn)是帶有字母系數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題．