Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，如果存在函數(shù)g（x）=ax（a為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，那么稱(chēng)g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．已知對(duì)于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函數(shù)f（x）=e

x

k

的一個(gè)承托函數(shù)，記實(shí)數(shù)a的取值范圍為集合M，則有（　�。�

A．e^-1?M，e?M

B．e^-1?M，e∈M

C．e^-1∈M，e?M

D．e^-1∈M，e∈M

Answer 1

分析：函數(shù)g（x）=ax（a為常數(shù)）是函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，即說(shuō)明函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方（至多有一個(gè)交點(diǎn)），根據(jù)函數(shù)，再分離參數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：令F（x）=e

x

k

-ax，則F（x）=e

x

k

-ax≥0對(duì)于任意k∈（0，1）恒成立
由題意，x＞0時(shí)，a≤

e x k

x

，x＜0時(shí)，a≥

e x k

x

，
下面考慮a≤

e x k

x

，令h（x）=

e x k

x

，則h′（x）=

( x k -1)e x k

x2

由h′（x）＜0得x＜k，由h′（x）＞0得x＞k，
所以h（x）在（0，k）上單調(diào)遞減，在（k，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=k時(shí)h（x）取得最小值h（k）=

e

k

，
∴a≤

e

k

∵k∈（0，1），
∴a＜e
x＜0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，∴a≥0，
∴0＜a＜e
∴e^-1∈M，e∉M
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題處理．