已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是)和，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)E在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)恰好是橢圓C的右頂點(diǎn)F．
（1）求橢圓C和拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線(xiàn)l1、l2，l1交拋物線(xiàn)E于點(diǎn)A、B，l2交拋物線(xiàn)E于點(diǎn)G、H，求的最小值．

（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）有最小值為16．

解析試題分析：（1）由于橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都等于,所以，
，由此即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，所以?huà)佄锞�(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，，，則 
.再設(shè)l1的方程：，l2的方程，用韋達(dá)定理將上式表示為即可求得其最小值.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)，焦距為2c，
則由題意得c=，，
∴，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．         4分
∴右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．
設(shè)拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴ ，
∴拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．      6分
（2）設(shè)l1的方程：，l2的方程，
，，，，
由消去y得：，
∴．
由消去y得：，
∴     9分
∴





．
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，有最小值16．  13分
考點(diǎn)：1、橢圓與拋物線(xiàn)的方程；2、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F和橢圓的右焦點(diǎn)重合,直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)C的方程；
(2)若直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)M,且,m、n是實(shí)數(shù),對(duì)于直線(xiàn),m+n是否為定值?
若是,求出m+n的值；否則,說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F且不平行于x軸的動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)在A、B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)M.

(1)求證：A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
(2)設(shè)直線(xiàn)MF交該拋物線(xiàn)于C、D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，2)，其焦點(diǎn)F在x軸上．

(1)求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)F，且與直線(xiàn)OA垂直的直線(xiàn)的方程；
(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(m，0)(m>0)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于D、E兩點(diǎn)，ME＝2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為f(m)，求f(m)關(guān)于m的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、， 焦距為2，過(guò)作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3
（1）求橢圓的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，判斷是否存在直線(xiàn)使得為鈍角，若存在，求出直線(xiàn)的斜率的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M(2，t)(t>0)在直線(xiàn)x＝(a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距)上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線(xiàn)3x－4y－5＝0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線(xiàn)與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

根據(jù)下列條件，求雙曲線(xiàn)方程．
(1)與雙曲線(xiàn)＝1有共同的漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)(－3，2)；
(2)與雙曲線(xiàn)＝1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3，2)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x－y＋2＝0相切．

(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點(diǎn)P(0，1)，Q(0，2)．設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)，直線(xiàn)PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓E:+=1(a>b>0),以?huà)佄锞�(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若F為橢圓E的左焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn),與直線(xiàn)x=-4相交于Q點(diǎn),P是橢圓E上一點(diǎn)且滿(mǎn)足=+,證明·為定值,并求出該值.

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